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数列的高考真题,数列高考真题讲解
tamoadmin 2024-05-16 人已围观
简介1.数列问题(高考题)越快越好,要有解答。(1)证明:因为S(n+1)=3Sn+2,所以S(n+1)+1=3Sn+3=3(Sn+1).因为S1+1=2+1=3≠0,所以Sn+1≠0,因此[S(n+1)+1]/(Sn+1)=3.所以数列{Sn+1}是以3为首项,3为公比的等比数列.所以Sn+1=(S1+1)*q^(n-1)=3*3^(n-1)=3^n,因此Sn=3^n-1.(2)解:当n=1时,a1
1.数列问题(高考题)越快越好,要有解答。
(1)证明:
因为S(n+1)=3Sn+2,所以S(n+1)+1=3Sn+3=3(Sn+1).
因为S1+1=2+1=3≠0,所以Sn+1≠0,因此[S(n+1)+1]/(Sn+1)=3.
所以数列{Sn+1}是以3为首项,3为公比的等比数列.
所以Sn+1=(S1+1)*q^(n-1)=3*3^(n-1)=3^n,因此Sn=3^n-1.
(2)解:
当n=1时,a1=S1=2;
当n>1时:
Sn=3^n-1
S(n-1)=3^(n-1)-1.
所以an=Sn-S(n-1)=(3^n-1)-[3^(n-1)-1]=3*3^(n-1)-1*3^(n-1)=2*3^(n-1).
因为a1=2,符合上式,所以通项公式an=2*3^(n-1).
数列问题(高考题)越快越好,要有解答。
答案17
解析:Sn=向量a1(向量a2+向量a3+...+向量an)
=向量a1(向量a1+向量d+向量a1+2向量d+...+向量a1+(n-1)向量d)
=向量a1[(n-1)向量a1+n(n-1)向量d/2]
=4(n-1)-1/2.n(n-1)/2
=-n^2/4+17n/4-4
n=17时,取最大值。
Xn=PXn-1-QXn-2
Xn-PXn-1+QXn-2=0 --------------(1)
将其化成下面格式(待定系数法):
Xn-A*Xn-1=B(Xn-1-AXn-2) ------------(2)
将(2)式展开,然后与(1)式的各项比较得:
A+B=P -------------(3)
A*B=Q -------------(4)
因此A,B为X^2-PX+Q=0的两根.不防设A=α,B=β
Xn-α*Xn-1=β(Xn-1-αXn-2) ----------------(5)
依(5)的递推式(分别代入n-1,n-2,n-3,...,4,3得:
Xn-1-α*Xn-2=β(Xn-2-αXn-3)-----------------(5.1)
Xn-2-α*Xn-3=β(Xn-3-αXn-4)-----------------(5.2)
Xn-3-α*Xn-4=β(Xn-4-αXn-5)-----------------(5.3)
......
X4-α*X3=β(X3-αX2)-----------------(5.n-4)
X3-α*X2=β(X2-αX1)-----------------(5.n-3)
(5)*(5.1)*(5.2)*(5.3)*...*(5.n-4)*(5.n-3)并消掉相同项:
Xn-α*Xn-1=(X2-αX1)*β^(n-2)
Xn=(X2-αX1)*β^(n-2) + α*Xn-1
=(X2-αX1)*β^(n-2) + (X2-αX1)*β^(n-3)*α + α^2*Xn-2
=(X2-αX1)*β^(n-2) + (X2-αX1)*β^(n-3)*α + (X2-αX1)*β^(n-4)*α^2 + α^2*Xn-2
... ...
=(X2-αX1)*β^(n-2) + (X2-αX1)*β^(n-3)*α + (X2-αX1)*β^(n-4)*α^2+...+(X2-αX1)*β^(n-m)*α^(m-2)+...+(X2-αX1)*α^(n-2) + α^(n-1)*X1
等比数列求和(公比为:α/β) + α^(n-1)*X1
过程比较复杂,建议你参考:
斐波那挈数列通项公式的推导:
斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21……
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式:
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
显然这是一个线性递推数列。
通项公式的推导方法一:利用特征方程
线性递推数列的特征方程为:
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5,C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}√5表示根号5
通项公式的推导方法二:普通方法
设常数r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1, -rs=1
n≥3时,有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘,得:
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r,F(1)=F(2)=1
上式可化简得:
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么:
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
(这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和)
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}