高考立体几何专题_高考立体几何专题汇总

1.高考数学中立体几何中，若边长多少未说，那么能直接设个实数吗？

2.高考数学立体几何评分标准及评分细则

3.求文档: 2004全国高考数学立体几何题

4.(高考)在立体几何中，点到面的距离公式?

关于“三垂线定理及其逆定理”

很多教师都说，整个高中立体几何就是“三垂线定理”。尽管说得过分些，但从另外一个角度说明，“三垂线定理”在整个高中“立体几何”中的地位和作用。确实，“三垂线定理”是整个立体几何内容的一个典型代表，处在整个立体几何知识的枢纽位置，综合了很多知识内容：直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行。在数学2“点、直线、平面之间的位置关系”中虽然没有明确提到“三垂线定理”，但在选修2-1“空间向量与立体几何”中提到“能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）”。按照这种提法，教材中必须明确提出“三垂线定理”，学生应该知道这个定理。至于放在《数学2》中，还是放在《选修2-1》中，则是另外一个问题。实际上，考虑到目前“点、直线、平面之间的位置关系”一章仅有10课时，而且直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定定理仅仅要求归纳得出，在《数学2》中没有严格的证明。我们认为，“三垂线定理”放在《选修2-1》中比较合适，而且只要求了解其内容，并用向量方法证明，不要求运用此定理证明有关的命题。

有了“三垂线定理”，“三垂线定理的逆定理”也就顺理成章了，无非是斜线与斜线在平面内的射影的位置互换了一下。

在教材实验过程中，教师非常关注“三垂线定理及其逆定理”的教学。一方面是它在过去整个高中“立体几何”中的地位和作用；另一方面，它也是过去高考的核心内容，目前的高考试卷中，如果是用综合法处理的“立体几何”方面的大题，都是关于“三垂线定理及其逆定理”的。但是，随着空间向量及其运算引入“立体几何”内容中，用空间向量及其运算的向量方法（或坐标方法）处理有关垂直和平行问题成为一种普适的方法，用“三垂线定理及其逆定理”的综合方法退居其次。高中数学新课程中强调用空间向量及其运算处理立体几何中的角度、距离，淡化综合方法处理角度问题和距离问题。

三垂线定理是高中立体几何中解决线线垂直、线面垂直的重要工具,为找二面角及相关证明带来很多方便。主要对三垂线定理进行深入的剖析并对其在实际解题中的应用做相关的分析与拓展。

1准备知识

定理1:如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。定理2:如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。定理3:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。定理4:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行。定理5:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

定义1:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。定义2:平面内的一条直线把平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行。

2三垂线定理 (三垂线定理)在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。

分析:首先可以看出三垂线定理的条件有两个1)在平面内的一条直线a;2)a和斜线PA的射影OA垂直;结论:a和PA垂直。不难看到三垂线定理其实质是线面垂直判定定理的一个推广:,。又OA,OPOA=O,平面OAP。所以在做题时不必死板的去寻找所谓的斜线、垂线和射影,而应从宏观上把握线面垂直的判定定理。

(三垂线定理的逆定理)在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

分析:我们也不难看出三垂线定理和平面与平面垂直紧密联系着,因平面与平面垂直的判定定理是:如果一个平面过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直,因此我们在证明面面垂直时,也要时刻与三垂线定理挂起钩来。 3三垂线定理在解题中的应用 例1:四棱锥P-ABCD的底是正方形,PA平面ABCD,PA=AD=3,E为PA上的点,且,(),Q为PD上的点,且DQ=QP。(>0)

高考数学中立体几何中，若边长多少未说，那么能直接设个实数吗？

1、两个二倍角公式，诱导公式，各给1分；

2、如果只有最后一步结果，没有过程，则给1分，不影响后续得分；

3、最后一步结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分；

4、如果过程中某一步化简错了，则只给这一步前面的得分点。

扩展资料：

对于高考数学题，特点是压轴题，有很多同学抱着“回避”的态度，这种“回避”必然导致“起评分”降低－－别人从“150分”的试题中得分，而你只能从“120分”的试题中得分。

因此，从某种意义上说，这种“回避”增加了考试的难度！因为，假如有些基础题你思维“短路”，立刻导致考试“溃败”。

其实，只要我们了解高考数学题的特点，并且掌握一定的答题技巧，注意评分的细则，相信同学们还是能够取得高分的。下面，我谈一谈我的几点认识，供同学们参考。

高考数学立体几何评分标准及评分细则

这要具体问题具体分析，遇到了正方体，等边三角形，正方形等问题时，是可以给边长设一个具体实数值，进行计算的，其它问题不可以

例如，在正方体ABCD-A1B1C1D1，求二面角A-B1C1-D所成角的大小，可设棱长= 1

求文档: 2004全国高考数学立体几何题

高考数学立体几何评分标准评分及评分细则：

(2017全国3,文19)(本小题满分12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.

1.证明线面垂直时,不要忽视“面内两条直线为相交直线”这一条件,如第(1)问中,学生易忽视“DO∩BO=O”,导致条件不全而减分;

2.求四面体的体积时,要注意“等体积法”的应用,即合理转化四面体的顶点和底面,目的是底面积和顶点到底面的距离容易求得;

3.注意利用第(1)问的结果:在题设条件下,如果第(1)问的结果第(2)问能用得上,可以直接用,有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决,如本题中,由(1)及题设知∠ADC=90°.

4.要注意书写过程规范,计算结果正确.书写规范是计算正确的前提,在高考这一特定的环境下,学生更要保持规范书写,力争一次成功,但部分学生因平时习惯,解答过程中书写混乱,导致失误过多.

扩展资料：

高考数学立体几何解题方法：

坐标系法：一般是两步给分，一是各关键点的的坐标，二是结果。

几何法：按你所写的关键步骤分步给分。

二者各有优缺点，坐标系法简单方便，容易入手。但是如果结果算错了，得到的步骤分很少。几何法较难，但是结果算错了只要步骤对，也能得到大部分分值。

(高考)在立体几何中，点到面的距离公式?

1．[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第10题，文科数学第10题]

已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于（）

A．B．C．D．

2．[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第16题，文科数学第16题]

已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是.

①两条平行直线②两条互相垂直的直线

③同一条直线④一条直线及其外一点

在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.

3．[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)文科数学第6题]

正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）

A．75°B．60°C．45°D．30°

4．[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第7题，文科数学第10题]

已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则

球心O到平面ABC的距离为（）

A．B．C．D．

5．[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第16题，文科数学第16题]

下面是关于四棱柱的四个命题：

①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱

④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱

其中，真命题的编号是（写出所有正确结论的编号）.

6．[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第9题，文科数学第10题]

正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（）

A．B．C．D．

7．[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第13题，文科数学第14题]

用平面截半径为的球，如果球心到平面的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为.

8．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)文科数学第3题]

正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为（）

A．B．C．D．

9．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第7题]

对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（）

A．如果、n是异面直线，那么

B．如果、n是异面直线，那么相交

C．如果、n共面，那么

D．如果、n共面，那么

10．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)文科数学第11题]

已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=BC=2，则球心到平

面ABC的距离为（）

A．1B．C．D．2

11．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第10题]

已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=2，BC=，则球心

到平面ABC的距离为（）

A．1B．C．D．2

12．（2004年北京高考·理工第3题，文史第3题）

设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若，，则

②若，，，则

③若，，则

④若，，则

其中正确命题的序号是

A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④

13．（2004年北京高考·理工第4题，文史第6题）

如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是

A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线

14．（2004年北京高考·理工第11题，文史第12题）

某地球仪上北纬纬线的长度为，该地球仪的半径是__________cm，

表面积是______________cm2

15．[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第20题，文科数学第21题，满分12分]

如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

（I）求点P到平面ABCD的距离；

（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.

16．[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第20题，文科数学第20题，满分12分]

如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.

（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；

（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.

17．[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第20题，文科数学第21题，满分12分]

三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3，

（1）求证：AB ⊥ BC；

（2，理科）设AB=BC=，求AC与平面PBC所成角的大小.

(2，文科) 如果AB=BC=，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小.

18．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第20题，文科数学第21题，本小题满分12分]

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.

（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；

（Ⅱ）证明PA⊥BD.

19．（2004年北京高考·文史第16题，本小题满分14分）

如图，在正三棱柱中，AB＝2，，由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为M，求：

（I）三棱柱的侧面展开图的对角线长

（II）该最短路线的长及的值

（III）平面与平面ABC所成二面角（锐角）的大小

20．（2004年北京高考·理工第16题，本小题满分14分）

如图，在正三棱柱中，AB＝3，，M为的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱到M的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为N，求：

（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长

（II）PC和NC的长

（III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）

参考答案

1．A2．①②④3．C4．B5．②④6．C7．8．A9．C

10．A11．A12．A13．D14．

15．[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第20题，文科数学第21题]

本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.

（I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE.

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，

∵PA=PD，∴OA=OD，

于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.

由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，

∴∠PEB=120°，∠PEO=60°

由已知可求得PE=

∴PO=PE·sin60°=，

即点P到平面ABCD的距离为.

（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.

.连结AG.

又知由此得到：

所以

等于所求二面角的平面角，

于是

所以所求二面角的大小为.

解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，FG=BC.

∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，

∴∠AGF是所求二面角的平面角.

∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.

又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.

在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=.

在Rt△PEG中，EG=AD=1.

于是tan∠GAE==,

又∠AGF=π－∠GAE.

所以所求二面角的大小为π－arctan.

16．[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第20题，文科数学第20题]

本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.

满分12分.

解法一：（Ⅰ）如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=

∵CB=CA1=，∴△CBA1为等腰三角形，

又知D为其底边A1B的中点，

∴CD⊥A1B.∵A1C1=1，C1B1=，∴A1B1=

又BB1=1，A1B=2. ∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，

∴CD=A1B=1，CD=CC1，又DM=AC1=，DM=C1M.

∴△CDM≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°，即CD⊥DM.

因为A1B、DM为平在BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.

（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则FG//CD，FG=CD.

∴FG=，FG⊥BD.

由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D知BD=B1D=A1B=1，

所以△BB1D是边长为1的正三角形.

于是B1G⊥BD，B1G=∴∠B1GF是所求二面角的平面角，

又 B1F2=B1B2+BF2=1+（=，

∴

即所求二面角的大小为

解法二：如图，以C为原点建立坐标系.

（Ⅰ）B（，0，0），B1（，1，0），A1（0，1，1），

D（，M（，1，0），

则∴CD⊥A1B，CD⊥DM.

因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.

（Ⅱ）设BD中点为G，连结B1G，则

G（），、、），

所以所求的二面角等于

17．[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第20题，文科数学第21题]

本小题主要考查两个平面垂直的性质、直线与平面所成角等有关知识，以及逻辑思维能力和空间想象能力.满分12分.

（Ⅰ）证明：如图1，取AC中点D，连结PD、BD.

因为PA=PC，所以PD⊥AC，又已知面PAC⊥面ABC，

所以PD⊥面ABC，D为垂足.

因为PA=PB=PC，所以DA=DB=DC，

可知AC为△ABC的外接圆直径，因此AB⊥BC.

（Ⅱ，理科）解：如图2，作CF⊥PB于F，连结AF、DF.

因为△PBC≌△PBA，所以AF⊥PB，AF=CF.

因此，PB⊥平面AFC，

所以面AFC⊥面PBC，交线是CF，

因此直线AC在平面PBC内的射影为直线CF，

∠ACF为AC与平面PBC所成的角.

在Rt△ABC中，AB=BC=2，所以BD=

在Rt△PDC中，DC=

在Rt△PDB中，

在Rt△FDC中，所以∠ACF=30°.

即AC与平面PBC所成角为30°.

（2，文科）解：因为AB=BC，D为AC中点，所以BD⊥AC.

又面PAC⊥面ABC，

所以BD⊥平面PAC，D为垂足.

作BE⊥PC于E，连结DE，

因为DE为BE在平面PAC内的射影，

所以DE⊥PC，∠BED为所求二面角的平面角.

在Rt△ABC中，AB=BC=，所以BD=.

在Rt△PDC中，PC=3，DC=，PD=，

所以

因此，在Rt△BDE中，，

所以侧面PBC与侧面PAC所成的二面角为60°.

18．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第20题，文科数学第21题]

本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析

问题能力.满分12分

解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD.

作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE.

根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，

所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，

由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，

所以PO=3，四棱锥P—ABCD的体积

VP—ABCD=

（Ⅱ）解法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得

P（0，0，3），A（2，－3，0），B（2，5，0），D（－2，－3，0）

所以

因为所以PA⊥BD.

解法二：如图2，连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算可得EO=3，AE=2，

又知AD=4，AB=8，

得

所以Rt△AEO∽Rt△BAD.

得∠EAO=∠ABD.

所以∠EAO+∠ADF=90°

所以AF⊥BD.

因为直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PA⊥BD.

19．（2004年北京高考·文史第16题，本小题满分14分）

本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分14分。

解：（I）正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形

其对角线长为

（II）如图，将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接交于M，则就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点C1的最短路线，其长为

故

（III）连接DB，，则DB就是平面与平面ABC的交线

在中

又

由三垂线定理得

就是平面与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）

侧面是正方形

故平面与平面ABC所成的二面角（锐角）为

20．（2004年北京高考·理工第16题）

本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分14分。

解：（I）正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为

（II）如图1，将侧面绕棱旋转使其与侧成在同一平面上，点P运动到点的位置，连接，则就是由点P沿棱柱侧面经过棱到点M的最短路线

设，则，在中，由勾股定理得

求得

（III）如图2，连结，则就是平面NMP与平面ABC的交线，作于H，又平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，

就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）

在中，

在中，

故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为

设面为AX+BY+CZ+D=0

点(X0,Y0,Z0)到面的距离公式为

d=\AX0+BY0+CZ0+D\/根号（A^2+B^2+C^2）

跟点到直线的距离公式差不多只是联系到空间，也是过该点分别作面的垂线，和斜线，组成直角三角形