正余弦定理高考题_高中正余弦定理例题

1.怎么求三角形中边或角的取值范围？

2.正弦定理，余弦定理的应用题

3.高中正弦余弦定理主要题型以及做题方法

4.今天的一道高考数学题！！！会的教下！谢谢！

5.高中数学正余弦定理中难题，求提供解答过程！

6.正、余弦定理的几道题目...

余弦定理及其证明

1.三角形的正弦定理证明：

步骤1.

在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤2.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.

连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

a/SinA=BC/SinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

2.三角形的余弦定理证明：

平面几何证法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB

b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

3

在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。

过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*CD

因为cosC=CD/b

所以CD=b*cosC

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

题目中^2表示平方。

2

谈正、余弦定理的多种证法

聊城二中 魏清泉

正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.

定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则

(1)(正弦定理) = = ;

(2)(余弦定理)

c2=a2+b2-2abcos C,

b2=a2+c2-2accos B,

a2=b2+c2-2bccos A.

一、正弦定理的证明

证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有

AD=b?sin∠BCA，

BE=c?sin∠CAB，

CF=a?sin∠ABC。

所以S△ABC=a?b?csin∠BCA

=b?c?sin∠CAB

=c?a?sin∠ABC.

证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有

AD=b?sin∠BCA=c?sin∠ABC，

BE=a?sin∠BCA=c?sin∠CAB。

证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆

的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。

因为AB=AC+CB，

所以j?AB=j?(AC+CB)=j?AC+j?CB.

因为j?AC=0，

j?CB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=a?sinC，

j?AB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=c?sinA .

二、余弦定理的证明

法一：在△ABC中，已知 ，求c。

过A作 ，

在Rt 中， ，

法二：

，即：

法三：

先证明如下等式：

⑴

证明：

故⑴式成立，再由正弦定理变形，得

结合⑴、 有

即 .

同理可证

.

三、正余弦定理的统一证明

法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).

根据向量的运算：

=(-acos B,asin B)，

= - =(bcos A-c,bsin A),

(1)由 = ：得

asin B=bsin A,即

= .

同理可得： = .

∴ = = .

(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，

又| |=a,

∴a2=b2+c2-2bccos A.

同理：

c2=a2+b2-2abcos C;

b2=a2+c2-2accos B.

法二：如图5，

,设 轴、 轴方向上的单位向量分别为 、 ，将上式的两边分别与 、 作数量积，可知

即

将(1)式改写为

化简得b2-a2-c2=-2accos B.

即b2=a2+c2-2accos B.(4)

怎么求三角形中边或角的取值范围？

a+C=√2b;即sinA+sinC=√2sinB;

A=(A+C)/2 +(A-C)/2; C=(A+C)/2 -(A-C)/2; B=π-(A+C)

所以sinA+sinC=2sin(A+C)/2cos(A-C)/2=√2sin(A+C）=2√2sin(A+C)/2cos(A+C)/2;

0<(A+C)/2<π/2; 所以：2sin(A+C)/2>0;

则有：cos(A-C)/2=√2cos(A+C)/2;

即：cosA/2cosC/2+sinA/2sinC/2=√2cosA/2cosC/2-√2sinA/2sinC/2;

(√2+1)sinA/2sinC/2=(√2-1)cosA/2cosC/2;

那么：tanA/2tanC/2=(√2-1)/(√2+1)=3-2√2;

正弦定理，余弦定理的应用题

三角形中的范围与最值问题，是学生学习解三角形的过程中比较害怕的问题，它不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及基本不等式以及求函数值域. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.

使用情景：三角形中

解题模板：

第一步 通过观察分析，将所给的边或角的关系转化为角或边之间的关系；

第二步 利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理及其辅助角公式等转化；

第三步 得出结论.

例1 已知 是锐角三角形，若 ，则 的取值范围是（ ）

A.

B.

C.

D.

答案A

解析

由题意得，在 中，由正弦定理可得 ，

又因为 ，所以 ，

又因为锐角三角形，所以

所以 ，

所以 ，所以 ，

所以 的取值范围是 ，故选A．

总结

①本题易错在求 的范围上，容易忽视“ 是锐角三角形”这个条件；

②本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法.解三角形问题的本质就是实现边角的转化，本题给的是角条件，求的是边之比的范围，思路很清晰，借助正弦定理把边转到角上，问题就转化为三角函数的最值问题，而定义域即角的范围就成了关键，锐角三角形就是保证三个角均为锐角，利用好内角和定理及 ，建立 的不等关系即可．

例2在 中，若 ，点 ， 分别是 ， 的中点，则 的取值范围为____．

解析

设 ， ， ，

， 分别是 ， 的中点，

，

，

所以有正弦定理得 ，

， ，

设 ，结合 ，

由 可得 .

,

故答案为 .

总结本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题，属于难题.求范围问题的常见方法有①配方法；②换元法；③不等式法；④图象法；⑤函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域；本题就是先将 表示为关于 的函数，再根据方法⑤解答的.

高中正弦余弦定理主要题型以及做题方法

解：因为CP∥OB，所以∠CPO=∠POB=60°-θ，

∴∠OCP=120°

在△POC中，由正弦定理得，

∴，OP/sin∠PCO=CP/sinθ

所以CP=sinθ

又，OC/sin（60度-θ）=2/sin120度

∴OC=sin（60°-θ）

因此△POC的面积为

S（θ）=CP·OCsin120°

=·sinθ·sin（60°-θ）×

=sinθsin（60°-θ）

=sinθ（cosθ-sinθ）

=[cos（2θ-60°）-]，θ∈（0°，60°）

所以当θ=30°时，S（θ）取得最大值为3/根号3

看到这里你会做了么？会就采纳吧！谢谢，不会就问

今天的一道高考数学题！！！会的教下！谢谢！

1.根据正弦定理和余弦定理公式解三角形（余弦定理中要注意骄傲的的取值个数）

2.三角形解的个数的讨论：若已知a,b,A,由正弦定理得sinB=(b/a)sinA=m,由此试进一步求三角形时，需结合sinB的取值范围及A+B＜180°来讨论：

（1）若m＞1时，则不存在这样的角B，故三角形无解；

（2）若m≤1，则在[0°，180°]内存在角B，但此时三角形是否有解还需继续讨论。

①当m=1时，则B=90°，

a.若此时A＜90°，则三角形有一解；

b. .若此时A≥90°，则三角形无解。

②当0＜m＜1时，满足sinB=m的B为锐角时设为α，B为钝角时设为β。则

a.当A+α＞180°时，三角形无解；

b.当A+α＜180°时，三角形有解；

c..当A+β＜180°时，三角形有两解；

d.当A+β≥180°时，三角形无解。

3.利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状（主要是公式的换算）

4利用正弦定理和余弦定理证明恒等式（主要是公式的换算）

5.求三角形的面积：公式：S△=?ah^a=?absinC=(abc)/4R=?（a+b+c)r=√p(p-a)(p-b)(p-c) (海伦公式）=?√（ |向量AB|×|向量AC|)^2-（向量AB×向量AC）^2=2RsinAsinBsinC=(a^2sinBsinC)/2sinA 其中r为△ABC内切圆半径，R为△ABC外接圆半径，P=?（a+b+c)

6应用举例：①测量距离 ②测量高度 ③测量角度

高中数学正余弦定理中难题，求提供解答过程！

根据正弦定理，sinA=a/2R，sinC=c/2R；

根据余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab；

所以由sinAcosC=3cosAsinC

有a/2R*(a^2+b^2-c^2)/2ab=3(b^2+c^2-a^2)/2bc*c/2R

即a^2-c^2=b^2/2

而a^2-c^2=2b

所以b^2/2=2b

因为b>0，所以b=4。

正、余弦定理的几道题目...

郭敦荣回答：

在△ABC中，

a?－a－2b－c=0，

a+2b－2c+3=0，

二式相加得，a?－3c+3=0，c=a?/3+1，

b

=（a?－a－c）/2=（2a?/3－1－a）/2=（1/3）a?－a/2－1/2，

设a=1，则c=4/3，b=1/3－1/2－1/2=－2/3，

∴b=－2/3

（a），

但b＞0，矛盾。所以，本题无解。

不知什么地方出了问题，很可能是两式中的正负号上有问题，请检查。

有些符号实在没法写，既然你有答案，我就说下思路吧

1.cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac,带入条件，整理得：a^2-√2cx+x^2-2=0,若有2个解，则 △>0,从而求出x的范围

2.过A做AD垂直于BC交BC于D，假设AD=x，根据已知条件可得出AB BC AC都用x表示，然后利用∠B的余弦定理求出x，然后易得面积

3.假设3个边为 x-1，x，x+1，最大的边应该是x+1对应的边，利用余弦定理求出cos最大角<0，求出x范围，又知道x为自然数，即可确定x

4.根据余弦定理，a^2+b^2=c^2+2abcosC 三个式子相加得

b^2+c^2=a^2+2bccosA

a^2+c^2=b^2+2accosB

a^2+b^2+c^2=2abcosC+2bccosA+2accosB<2(ab+bc+ca) 得证。

5.a^2+b^2-c^2=-ab cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=-1/2 所以C=120

6.如果lga-lgc=lasinB=-lg√2 没看明白什么意思

7.因为a-b=4，所以a>b,因为a+c=2b，即b-c=a-b>0所以b>c,因此a最长，A=120

列出余弦定理，然后和2个已知条件即可求出abc

8. 画出图，先根据b=1 面积 求出AC的高，然后求出AB，再根据余弦定理就可以求出所有边和角，然后计算 另外说明一点：sinA/a=sinB/b=sinC/c=a+b+c/sinA+sinB+sinC

终于写完了，其中可能不太条理，希望能对你有所帮助